Vectores
Los vectores son una herramienta matemática fundamental en el análisis y la representación de sistemas físicos en 2D y 3D. En 2D, los vectores se representan como pares ordenados de números que indican la magnitud y la dirección de una cantidad física, como la fuerza o la velocidad. En 3D, los vectores se representan como tripletes de números que indican la magnitud y la dirección en el espacio tridimensional.
Las aplicaciones prácticas de los vectores en 2D y 3D son diversas. En la física, se utilizan para describir la posición y la dirección de objetos en movimiento, la fuerza y el momento aplicado a un objeto, y la velocidad y la aceleración en un sistema. En la ingeniería, se utilizan para modelar y analizar sistemas mecánicos y estructurales, como edificios, puentes y aviones. En la informática gráfica, se utilizan para representar objetos en 3D y simular interacciones físicas en videojuegos y películas de animación.
Representacion Grafica de Vectores
En la primera imagen (izquierda) se puede observar un vector (azul) que se encuentra en 2D o lo que es lo mismo, esta dibujado sobre un plano cartesiano. En la segunda imagen (derecha) se tiene un vector (azul) que se encuentra en el espacio euclidiano o en 3D.
Por Componentes Rectangulares
Los componentes rectangulares de un vector se refieren a las proyecciones del vector sobre los ejes cartesianos X e Y (y en 3D también sobre el eje Z). En otras palabras, los componentes rectangulares son simplemente las magnitudes de las proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes cartesianos, sin especificar la dirección en la que apuntan. Estos componentes rectangulares pueden ser positivos, negativos o cero, según la dirección y magnitud del vector. La descomposición en componentes rectangulares es útil en muchos cálculos, ya que permite simplificar el análisis de vectores en coordenadas cartesianas y facilita la resolución de problemas en física, ingeniería y otros campos donde se trabaja con vectores.
Consulta: Determinar ¿Qué son los vectores unitarios? ¿Cómo se calculan? ¿Cómo se grafican?
Ejemplo: Determinar las componentes rectangulares de un vector que tiene una magnitud de 4 unidades y una direccion de 45 grados.
Como se tienen los valores de magnitud y ángulo se remplazan en las ecuaciones de la figura anterior.
Se tiene entonces que el vector A tiene una componente sobre el eje X que mide 3.40 unidades. Ahora se procede a calcular para el eje Y.
Ejemplo: Determinar las componentes rectangulares y graficar un vector cuya magnitud es de 12 metros y que posee una inclinación con respecto al eje X de 52 grados.
Ahora con el eje Y.
Se obtiene que para el eje X la componente mide 7.39 metros y para el eje Y se tiene 9.46 metros, ahora se debe graficar en un plano cartesiano.
La escala del plano cartesiano de la figura se dispone de 5 en 5 unidades, esto no es un problema siempre y cuando se guarde la misma relación para ambos ejes.
Ejemplo: Graficar un vector cuya dirección es de 45° y tiene una magnitud de 5 centímetros.
Se sigue el mismo proceso con los ejemplos anteriores. En las ecuaciones dadas se reemplazan los valores entregados.
Ahora se calcula la componente con el eje horizontal.
Ahora teniendo las componentes en cada uno de los ejes, se puede realizar la grafica. Quedando:
Ejercicio: Calcular las componentes rectangulares de un vector denominado B que tiene una dirección de 30° y una magnitud de 15 unidades.
Ejercicio: Calcular las componentes rectangulares de un vector que tiene una magnitud de 6 unidades y tiene una direccion de 105° con respecto a la horizontal.
Ahora se debe hacer énfasis en que si el ángulo se mide con respecto a la vertical, las ecuaciones para las componentes rectangulares van a cambiar. En la siguiente imagen se tienen las ecuaciones para cuando el ángulo se mide con respecto a la vertical.
Ejemplo: Determinar las componentes rectangulares y graficar un vector que tiene una magnitud de 20 unidades, y tiene una inclinación de 33° con respecto a la vertical.
Solución: Lo primero que se debe realizar es el calculo de las componentes rectangulares, esto teniendo en cuenta la medida del ángulo.
Ahora se calcula la componente con el eje vertical.
Ejercicio: Calcular las componentes rectangulares de un vector cuya direccion esta medida con respecto a la vertical y tiene 24° con 15 milímetros de magnitud.
Ejercicio: Realizar los cálculos para determinar las componentes rectangulares y para graficar un vector con 17 unidades de magnitud y con 58° de inclinación con respecto a la horizontal.
Por Magnitud y Dirección
Suma de vectores
Suma grafica de vectores
Suma por componentes rectangulares
Estatica
Dinámica
Trabajo y energía
Movimiento Armónico Simple (M.A.S)
Es un tipo de movimiento periódico (es aquel que se repite en intervalos iguales de tiempo) y que se caracteriza por tener una trayectoria oscilatoria. Este tipo de movimiento esta presente en numerosos fenómenos naturales y sistemas físicos como los relojes, resortes, péndulos, etc.
El Movimiento Armónico Simple es un tipo de movimiento periódico en el que un objeto oscila de forma constante alrededor de una posición de equilibrio, siguiendo una trayectoria sinusoidal con amplitud, frecuencia y período determinados.
- Elongación (x): Es la distancia que existe entre la posición de equilibrios y la masa en cualquier instante. Sera positiva o negativa si se encuentra a la derecha o a la izquierda del punto de equilibrio.
- Posición de Equilibrio: Es el centro del movimiento.
- Amplitud (A): Es la distancia entre la posición de equilibrio y la posición extrema ocupada por el cuerpo que se mueve.
- Periodo (T): Es el tiempo que se tarda en dar una oscilación completa. Tiene unidades de tiempo.
- Frecuencia (f): Es el numero de oscilaciones que efectúa el cuerpo en un segundo. Su unidad de tiempo es el Hertz.
- Frecuencia angular o velocidad angular (ω): Es la rapidez con la que el cuerpo realiza una oscilación y se mide en radianes sobre segundo.
- Fase inicial (φ): Determina la posición del cuerpo en el instante cuando se inicia el análisis. Si el cuerpo inicia su movimiento desde la posición de equilibrio, su fase inicial es cero.
Para dar mas contexto al tema se muestra la siguiente figura donde se notan las diferentes características del péndulo simple. Es importante notar a fase inicial y saber que cuando se alcanza la máxima (o mínima, con valor negativo) elongación ±A, la velocidad se hace nula y la aceleración, con valor máximo, cambia de sentido. Al pasar por el punto de equilibrio O, la velocidad es máxima y la aceleración se hace cero y se invierte su sentido.
Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple
Cuando el tiempo se cuenta a partir del momento de máxima elongación (x = A), se deben usar las formulas de la izquierda. Cuando se ha empezado a medir el tiempo desde la posición de equilibrio O (x = 0), se deben usar las formulas de la derecha.
Ecuación de posición
Ecuación de velocidad
Ecuación de Aceleración
En las figuras que se muestran a continuación se hace la comparación entre los dos diferentes inicios que puede tener el péndulo simple. En la primera imagen (izquierda) el péndulo inicia su movimiento desde la posición de equilibrio. En la segunda imagen (derecha) el péndulo inicia desde la máxima amplitud (A); por lo que se debe considerar cual de las ecuaciones se debe usar para el análisis del movimiento.
Ejercicio: Un péndulo oscila con una amplitud de 0.2m y una frecuencia de 2Hz. Si en el instante 0 (cero) el péndulo se encuentra en su máxima posición hacia la derecha, determinar la posición de la masa en el instante 0.5s.
Ejercicio: Un péndulo tiene una longitud de 0.5m ¿Cuál es su frecuencia de oscilación?
Ejercicio: Hallar el periodo de un péndulo de 50cm de longitud sometido a una aceleración de la gravedad de 9.81 m/s2.
Ejercicio: Un reloj de péndulo funciona con exactitud en una latitud de 45° donde g = 9.806 m/s². Si se traslada un punto del ecuador de la Tierra, donde la gravedad es 9.78 m/s². Determinar en la nueva localización cuánto adelantará o se atrasará en un día.
Solución: El primer paso es calcular cual es el periodo del péndulo en el primer lugar.
Ahora se debe calcular el nuevo periodo en el Ecuador.
Luego se calcula la diferencia entre los periodos obtenidos.
Se sabe entonces que la diferencia entre ambos periodos es de 0.0019 segundos. Finalmente se calcula cuanto se atrasa o se adelanta el péndulo en un día. Como el tiempo esta dado en segundos se deben pasar las 24 horas del día a segundos. Como es sabido cada hora tiene 3600 segundos, por lo que si multiplicamos 3600 por 24 nos dará que el día tiene 86400 segundos. Finalmente, se multiplicamos 86400 por 0.0019 no dará 164.16.
En el ecuador, el reloj atrasará 164.16 segundos diarios, o lo que es lo mismo 2.7 minutos.
Laboratorio #1 Movimiento Armónico Simple (M.A.S)
Física y Matemáticas 