1. Criterios de Evaluación
2. Lectura y escritura
3. Historia de la Geometría
4. Ángulos
5. Clasificación de Ángulos
6. Rectas Paralelas y Perpendiculares
7. Triángulos Congruentes
8. Representacion de Gráficos Estadísticos
9. Descomposición en factores primos
10. Máximo Común Divisor
11. Factorización
12. Transformaciones
13. Homotecias
14. Construcciones Geométricas
15. Estadistica y Probabilidad
    1. Estadistica
    2. Definiciones
    3. Probabilidad

Criterios de Evaluación

• Comprensión de conceptos: Evaluar la capacidad de los estudiantes para comprender los conceptos fundamentales de la geometría y el álgebra básica. Esto puede incluir la capacidad de entender las propiedades de las formas geométricas, los principios de las operaciones matemáticas y las relaciones entre números y variables.
• Resolución de problemas: Evaluar la capacidad de los estudiantes para utilizar los conceptos de geometría y álgebra básica para resolver problemas prácticos. Esto puede incluir la capacidad de aplicar fórmulas y teoremas geométricos, y la capacidad de simplificar y resolver ecuaciones algebraicas.
• Comunicación matemática: Evaluar la capacidad de los estudiantes para comunicar sus ideas y razonamientos matemáticos de manera clara y efectiva. Esto puede incluir la capacidad de presentar argumentos lógicos y razonamientos deductivos de manera ordenada, así como la capacidad de trabajar en equipo para resolver problemas y presentar soluciones.

Numeros Reales

El hombre ha tenido la necesidad de contar desde su aparición sobre la Tierra hasta nuestros días, para hacerlo se auxilió de los números 1, 2, 3, 4, 5,…, a los que llamó números naturales. Números que construyó con base en el principio de adición; sin embargo, pronto se dio cuenta de que este principio no aplicaba para aquellas situaciones en las que necesitaba descontar. Es entonces que creó los números negativos, así como el elemento neutro (cero), que con los números naturales forman el conjunto de los números enteros, los cuales son:

…, − 5, − 4, − 3, − 2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Asimismo, se percató que al tomar sólo una parte de un número surgían los números racionales, que se expresan como el cociente de 2 números enteros, con el divisor distinto de cero, ejemplo:

Aquellos números que no es posible expresar como el cociente de 2 números enteros, se conocen como números irracionales:

Al unir los números anteriores se forman los números reales, los cuales se representan en la recta numérica:

Lectura y escritura

El sistema decimal es una forma de contar y medir cosas. Utilizamos el sistema decimal para contar cosas pequeñas como las uvas en un racimo o las monedas en una bolsa. También utilizamos el sistema decimal para medir cosas como el tiempo, la distancia y el peso.

En el sistema decimal, utilizamos 10 números diferentes para contar y medir cosas. Estos números son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Cada uno de estos números se llama un dígito.

Podemos usar estos dígitos para escribir números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, el número 123 significa 1 ciento, 2 decenas y 3 unidades. El número 567 significa 5 cientos, 6 decenas y 7 unidades.

Un número en el sistema decimal se escribe o se lee con base en la siguiente tabla:

En la tabla, los billones, millares de millón, millones, millares y unidades reciben el nombre de periodos, los que a su vez se dividen en clases y cada una de éstas se forma por unidades, decenas y centenas.

Ejemplo: Lee el número 37.

Solución: 37 se acomoda de derecha a izquierda en el periodo de las unidades.

Al número dado lo forman 3 decenas y 7 unidades y se lee: “treinta y siete”.

Ejemplo: Lee el número 824.

Solución: 824 se acomoda de derecha a izquierda en el periodo de las unidades.

Al número lo forman 8 centenas, 2 decenas y 4 unidades. Se lee: “ochocientos veinticuatro”.

Ejemplo: Lee el número 37 643.

Solución: Se acomoda en los periodos de los millares y las unidades.

El número se lee: “treinta y siete mil seiscientos cuarenta y tres”.

Ejemplo: Lee el número 52 384 273.

Solución: Se acomoda en los periodos de los millones, millares y unidades.

Se lee: “cincuenta y dos millones trescientos ochenta y cuatro mil doscientos setenta y tres”.

Ejemplo: Lee el número 962 384 502 936 114.

Solución: Se acomodan en los periodos desde las unidades a los billones.

Se lee: “novecientos sesenta y dos billones, trescientos ochenta y cuatro mil quinientos dos millones, novecientos
treinta y seis mil ciento catorce”.

Ejercicios:

Expresiones Algebraicas y sus Operaciones

Las expresiones algebraicas son combinaciones de números, letras y símbolos que representan cantidades y relaciones matemáticas. Las letras en estas expresiones, llamadas variables, permiten generalizar operaciones y plantear problemas en términos abstractos, facilitando el análisis y la solución de una amplia variedad de situaciones. En álgebra, utilizamos expresiones algebraicas para representar patrones, resolver ecuaciones y modelar situaciones reales de forma simplificada.

Las operaciones básicas que realizamos con expresiones algebraicas incluyen la suma, la resta, la multiplicación y la división de términos algebraicos. A través de estas operaciones, podemos simplificar, desarrollar y reorganizar expresiones para resolver problemas y hacer comparaciones. La habilidad para manipular expresiones algebraicas es fundamental en matemáticas, ya que nos prepara para resolver ecuaciones complejas, trabajar con funciones y comprender los fundamentos de conceptos más avanzados en cálculo y otras ramas de la matemática.

Multiplicación y División de Polinomios

La división de polinomios es una operación algebraica en la que se busca dividir un polinomio (llamado dividendo) entre otro polinomio (llamado divisor). Esta operación es similar a la división de números, pero involucra expresiones algebraicas con términos variables. La división de polinomios permite simplificar expresiones complejas y es especialmente útil en áreas avanzadas de matemáticas, como el álgebra y el cálculo, donde necesitamos resolver ecuaciones y descomponer funciones en términos más manejables.

Existen métodos específicos para realizar esta operación, siendo los más comunes la división larga de polinomios y la división sintética. Comprender y aplicar correctamente la división de polinomios facilita la simplificación de expresiones y ayuda a resolver problemas en álgebra, como encontrar raíces, factores y soluciones de ecuaciones polinómicas.

Productos y Cocientes Notables

Los productos notables son expresiones algebraicas que resultan de multiplicar dos o más términos y que se caracterizan por seguir reglas específicas que permiten simplificar su cálculo sin necesidad de realizar la multiplicación completa. Estos productos son comunes en diversas áreas de las matemáticas, como el álgebra y la geometría, y son fundamentales para la factorización y simplificación de expresiones.

• Cuadrado de un binomio:

(a+b)²=a²+2ab+b²

• Cubo de un binomio:

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

• Producto de binomios conjugados:

(a+b)(a−b)=a²−b²

Este producto se utiliza para simplificar la multiplicación de dos binomios que tienen términos comunes. Estos productos notables permiten resolver problemas matemáticos con mayor rapidez y eficacia, ya que evitan cálculos extensos.

Los cocientes notables son expresiones algebraicas que representan divisiones que resultan en polinomios exactos, es decir, donde el residuo es cero. Se caracterizan por seguir ciertas reglas que permiten identificar rápidamente el resultado sin realizar la división completa.

Características de los Cocientes Notables

1. El residuo de la división es igual a cero.
2. Las bases del numerador y del denominador deben ser iguales.
3. Los exponentes del numerador deben ser mayores que los del denominador.
4. Se presentan comúnmente como cocientes de potencias.

Geometría

La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas, centrándose en el estudio de las propiedades y relaciones de figuras en el plano y en el espacio. A continuación, se presenta una introducción a sus conceptos fundamentales, historia y aplicaciones.

Historia de la Geometría

La historia de la geometría se remonta a civilizaciones antiguas como la egipcia y la babilónica, donde se utilizaba para resolver problemas prácticos relacionados con medidas y construcciones. La geometría empírica de estas culturas fue fundamental para la edificación de estructuras como las pirámides. En la Grecia clásica, matemáticos como Euclides sistematizaron el conocimiento geométrico en su obra «Los Elementos», estableciendo un enfoque axiomático que ha influido en el desarrollo de las matemáticas hasta hoy. La geometría euclidiana se basa en postulados y teoremas que explican las propiedades de las figuras geométricas.

Ángulos

Un ángulo es una figura geométrica formada por dos rayos (o segmentos de línea) que comparten un punto en común llamado vértice. Los rayos se extienden en direcciones opuestas desde el vértice, creando la abertura o separación entre ellos. Los ángulos son fundamentales en la geometría y se utilizan para medir la inclinación o la rotación entre las dos líneas.

1. Vértice: El punto donde se encuentran los dos rayos.
2. Lados: Los dos rayos que forman el ángulo.
3. Medida del ángulo: Se mide en grados (°) o radianes (rad), que cuantifican la apertura entre los lados del ángulo.

Clasificación de Ángulos

Los ángulos se pueden clasificar según su medida:

1. Ángulo agudo: Menor de 90°.
2. Ángulo recto: Exactamente 90°.
3. Ángulo obtuso: Mayor de 90° pero menor de 180°.
4. Ángulo llano: Exactamente 180°.
5. Ángulo cóncavo: Mayor de 180° pero menor de 360°.
6. Ángulo completo: Exactamente 360°.

Rectas Paralelas y Perpendiculares

Las rectas paralelas son dos o más rectas que, al extenderse en ambas direcciones, nunca se intersectan, independientemente de cuánto se prolonguen. Esto significa que mantienen una distancia constante entre sí en todo momento. En términos geométricos, se dice que son paralelas si están en el mismo plano y no se cruzan.

Las rectas perpendiculares son aquellas que se intersectan formando un ángulo de 90 grados (ángulo recto). Este tipo de relación se da cuando dos rectas se cruzan y crean cuatro ángulos iguales, cada uno midiendo 90°.

Triángulos Congruentes

Los triángulos congruentes son aquellos que tienen la misma forma y tamaño, lo que significa que sus lados y ángulos correspondientes son iguales. La congruencia entre triángulos se puede determinar mediante varios criterios y propiedades que garantizan que, a pesar de ser figuras diferentes en posición o orientación, son esencialmente idénticas en términos de dimensiones.

Estadística

La estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa de la recopilación, análisis, interpretación y presentación de datos. Su objetivo principal es convertir datos en información útil, permitiendo así tomar decisiones informadas en diversas áreas como la ciencia, la economía, la medicina, la psicología y muchas otras disciplinas.

La estadística es fundamental en el mundo actual, donde la cantidad de datos generados es inmensa. Nos ayuda a:

• Describir fenómenos: A través de medidas descriptivas como la media, mediana y moda, podemos resumir grandes volúmenes de datos en cifras comprensibles.
• Tomar decisiones: La estadística permite realizar inferencias sobre una población a partir de una muestra, ayudando a tomar decisiones basadas en evidencia.
• Identificar tendencias: A través del análisis de datos a lo largo del tiempo, se pueden identificar patrones y tendencias que pueden influir en políticas y estrategias.

Representacion de Gráficos Estadísticos

Algebra

Descomposición en factores primos

Máximo Común Divisor

Factorización

Geometría

Transformaciones

Homotecias

Construcciones Geométricas

Estadistica y Probabilidad

Estadistica

En la vida cotidiana se presentan fenómenos que requieren del empleo de una serie de tablas, medidas, gráficas, de su análisis e interpretación para comprenderlos, lo cual nos lleva a plantearnos una serie de interrogantes donde para poder responderlas la Estadística día a día va ganando mayores adeptos, convirtiéndose en un método efectivo para describir con exactitud los valores y datos de situaciones problemáticas de las distintas ciencias agrícolas, biológicas, de salud, económicas, educativas, físicas, políticas, psicológicas, sociales, etcétera.

Se llama Estadística a la rama de las matemáticas que se sirve de un conjunto de métodos, normas, reglas y principios para la observación, toma, organización, descripción, presentación y análisis del comportamiento de un grupo de datos para la conclusión sobre un experimento o fenómeno.

La estadística tiene básicamente dos divisiones:

La Estadística Descriptiva: es la parte de la Estadística que estudia las técnicas y métodos que sirven para la observación, toma, organización, descripción, presentación y análisis de datos.

La Estadística Inferencial: es la parte de la Estadística mediante la cual se intenta dar explicación, concluir o inferenciar sobre los experimentos y fenómenos observados, mediante el auxilio de la probabilidad, estadística descriptiva y distribución de probabilidad, por lo que resulta una herramienta de suma utilidad para la toma de decisiones.

Ejemplo 1: como ejemplo podríamos citar el caso de un sociólogo, quien pudiera estar interesado en averiguar si entre las 750,000 personas que conducen automóviles son más agresivos los conductores hombres o mujeres.

Solución: Para la realización de este experimento, y debido al gran número de personas que habría de sondear, queda fuera de consideración el hecho de observar a todos los conductores de automóvil. Por lo que sería necesario estudiar sólo un pequeño grupo de ellos (muestra), siendo ésta la parte que le corresponde a la estadística descriptiva: El hecho de observar a los conductores, tomar y anotar los datos de forma organizada, hacer una descripción del carácter y sexo del individuo observado, hacer una presentación de los datos obtenidos y, por último, analizar los resultados de la muestra. Sin embargo, al estar en observación sólo un grupo representativo de conductores, cabe la posibilidad de que las conclusiones a las que se pudieran llegar no sean tan precisas y podría no tenerse la certeza de que se ha tomado la inferencia correcta. Es aquí donde entra en juego la estadística inferencial, al considerarse como una ayuda para la toma de decisiones cuando las condiciones de certidumbre están en juego. La estadística inferencial nos proporciona los métodos que nos permiten estimar el grado de confiabilidad de las conclusiones. Por lo que en cada proposición estadística hecha, se debe indicar la probabilidad de ocurrencia de los actos observados o descubrimientos hechos para así tomar decisiones que sean aplicables a todos los conductores de automóviles.

Definiciones

Población: Se le llama Población a la cantidad total de cualquier conjunto completo de datos, objetos, individuos o resultados que tengan alguna característica en común que se va a observar o analizar en un problema o experimento. Denotaremos al tamaño de la población por “N”. Puede referirse a actos, áreas geográficas, cosas, datos, objetos, individuos, resultados, e incluso a temperaturas o tiempos.

Muestra: Se le llama Muestra a cualquier subconjunto de elementos de la población. El interés de la Estadística es proporcionar métodos que permitan elegir una muestra de datos representativos destinado a suministrar información a cerca de una población, teniendo como característica fundamental que todos sus elementos deben tener todas las características de la población. Denotamos al tamaño de la muestra por “n”.

Variable: Se le llama Variable a la cualidad o cantidad medible de cualquier suceso o acción que presente o experimente un cambio, la podemos representar mediante un símbolo (X, Y, Z, α, β, γ, δ) y al cual se le puede asignar un valor cualquiera de un conjunto determinado de datos.

Variable Aleatoria: Le llamamos Variable Aleatoria a aquella variable cuyos cambios no pueden ser determinados antes de que estos se presenten; es decir, están destinados a la suerte. También se le conoce como Variable Probabilista, Cabalística, de Azar o a la Suerte.

Variables Numéricas o Cuantitativas: son aquellas que se identifican o se les puede asignar un valor numérico o que corresponden a aspectos que son medibles. Ejemplo: Tiempo de uso, precio, tamaño, velocidades, número de hijos de una familia, número de carros que circulan por determinada calle, alturas, pesos, tallas, temperaturas, tiempo de vida de una persona, cantidad de azúcar para endulzar un café, medida de sombreros, etcétera. Las variables numéricas se dividen en:

Variables Numéricas Discretas: son aquellas que solamente toman valores enteros con rango finito, ejemplo: Número de hijos en cada familia de una colonia de la ciudad, talla de calzado de cada alumno de un grupo escolar, la cantidad de alumnos por grupo, etc.

Variable Numérica Continua: son aquellas que pueden tomar cualquier valor entre dos valores dados. Es decir, el rango contiene no sólo valores enteros sino un intervalo (finito o infinito) de valores reales (esto es, que puede ser fraccionario, decimal o irracional). Ejemplo: El tiempo de vida de una persona, la cantidad de azúcar para endulzar un café, el nivel de hemoglobina de los habitantes de una colonia, la temperatura ambiental durante un día, etcétera.

Probabilidad

La probabilidad es una rama de las matemáticas que nos ayuda a entender cómo funcionan las cosas en el mundo. La probabilidad nos permite predecir qué tan probable es que algo suceda. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire, podemos predecir que hay una probabilidad del 50% de que salga cara y una probabilidad del 50% de que salga cruz.

La probabilidad se puede medir con números entre 0 y 1. Una probabilidad de 0 significa que algo es imposible de suceder y una probabilidad de 1 significa que algo es seguro de suceder. Por ejemplo, si decimos que hay una probabilidad del 0% de que llueva en el desierto, significa que es imposible que llueva.

Hay diferentes maneras de calcular la probabilidad, pero una de las más comunes es contando el número de resultados favorables entre el número total de resultados posibles. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire 3 veces y sale cara 2 veces, podemos decir que la probabilidad de que salga cara es 2/3.

La probabilidad es un tema muy interesante y es utilizado en muchas áreas, como la estadística, la ciencia, la economía y hasta en la vida diaria, por ejemplo, al elegir que jugar o no jugar a la lotería. A medida que vayas aprendiendo más sobre probabilidad, te darás cuenta de cuán útil puede ser en tu vida.